Kalkulator Współrzędnych Biegunowych

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 18 maja 2025
| |

Konwertuj między układami współrzędnych kartezjańskich (prostokątnych) a biegunowymi, wizualizuj punkty i krzywe oraz wykonuj obliczenia z użyciem współrzędnych biegunowych.

Konwersja Współrzędnych

Dodatkowe Obliczenia

Opcje Wyświetlania

O Współrzędnych Biegunowych

Współrzędne biegunowe to dwuwymiarowy układ współrzędnych, w którym każdy punkt jest określony przez odległość od punktu odniesienia oraz kąt od kierunku odniesienia.

Kluczowe Pojęcia
  • Promień (r): Odległość od początku do punktu.
  • Kąt (θ): Kąt mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi x.
  • Początek: Punkt odniesienia, równoważny (0,0) w współrzędnych kartezjańskich.
  • Biegun: Inna nazwa początku w współrzędnych biegunowych.
Zastosowania

Współrzędne biegunowe są szczególnie przydatne do:

  • Opisywania ruchu okrężnego lub spiralnego
  • Nawigacji i określania kierunku
  • Problemów fizycznych z symetrią radialną
  • Wyrażania liczb zespolonych
  • Analizowania funkcji okresowych

Czym są współrzędne biegunowe?

Współrzędne biegunowe reprezentują punkty na płaszczyźnie, używając odległości od punktu odniesienia oraz kąta od kierunku odniesienia. Ten system jest alternatywą dla współrzędnych kartezjańskich i jest szczególnie przydatny w problemach związanych z okręgami, krzywymi lub symetrią radialną.

Kluczowe pojęcia w współrzędnych biegunowych: - ( r ): Odległość radialna od początku układu do punktu. - ( \theta ): Kąt mierzony od dodatniej osi x, zazwyczaj w radianach lub stopniach.

Konwersja między współrzędnymi biegunowymi a kartezjańskimi jest podana przez: - ( x = r \cos(\theta) ) - ( y = r \sin(\theta) )

Cel kalkulatora współrzędnych biegunowych

Ten kalkulator pomaga użytkownikom: - Konwertować współrzędne biegunowe na współrzędne kartezjańskie. - Rysować równania biegunowe, takie jak ( r(\theta) = 2 + \sin(2\theta) ). - Wizualizować krzywą generowaną przez równanie biegunowe oraz współrzędne kartezjańskie konkretnych punktów.

To narzędzie jest idealne dla studentów, nauczycieli i inżynierów pracujących z krzywymi, problemami fizycznymi lub ruchem okrężnym.

Jak korzystać z kalkulatora

Pola wejściowe

  • Funkcja biegunowa ( r(\theta) ): Wprowadź równanie biegunowe, takie jak ( 2 + \sin(2\theta) ).
  • Kąt ( \theta ): Wprowadź kąt w stopniach, dla którego należy obliczyć współrzędne kartezjańskie.

Kroki do użycia

  1. Wprowadź pożądane równanie biegunowe w polu ( r(\theta) ).
  2. Określ kąt ( \theta ) w stopniach.
  3. Kliknij przycisk Oblicz.
  4. Zobacz wyniki, w tym:
  5. Współrzędne kartezjańskie ( (x, y) ).
  6. Rozwiązanie krok po kroku.
  7. Wykres biegunowy równania.
  8. Aby wyczyścić wszystkie dane wejściowe i wyniki, kliknij Wyczyść.

Przykład użycia

  • Wejście: ( r(\theta) = 2 + \sin(2\theta) ), ( \theta = 45^\circ )
  • Rozwiązanie:
  • Przekształć ( \theta ) na radiany: ( \theta = 0.7854 ) radianów.
  • Oblicz ( r(45^\circ) = 2 + \sin(90^\circ) = 3.0 ).
  • Oblicz współrzędne kartezjańskie:
    • ( x = r \cos(\theta) = 2.12 )
    • ( y = r \sin(\theta) = 2.12 )
  • Wykres: Wizualizuj krzywą biegunową ( r(\theta) = 2 + \sin(2\theta) ).

FAQ

1. Jakie równania mogę wprowadzić do kalkulatora?

Możesz wprowadzić dowolne ważne równanie biegunowe, takie jak ( r = 1 + \cos(\theta) ), ( r = 2 + \sin(2\theta) ) lub funkcje trygonometryczne, wykładnicze czy wielomianowe.

2. Jaki jest wynik kalkulatora?

Kalkulator dostarcza: - Współrzędne kartezjańskie dla konkretnego ( \theta ). - Wykres równania biegunowego ( r(\theta) ). - Rozwiązania krok po kroku dla konwersji.

3. Czy mogę wprowadzać kąty w radianach zamiast w stopniach?

Obecnie kalkulator oczekuje, że ( \theta ) będzie wprowadzane w stopniach. Jeśli masz radiany, przekształć je na stopnie przed wprowadzeniem.

4. Dlaczego potrzebuję wykresu funkcji biegunowej?

Wykresy pomagają wizualizować, jak ( r(\theta) ) zachowuje się w różnych kątach, co ułatwia zrozumienie kształtu krzywej.

5. Co powinienem zrobić, jeśli kalkulator zwraca błąd?

Upewnij się, że: - Funkcja ( r(\theta) ) jest wprowadzona poprawnie (np. bez literówek). - Kąt ( \theta ) jest ważną liczbą.

Podsumowanie

Kalkulator współrzędnych biegunowych to wszechstronne narzędzie do konwersji współrzędnych biegunowych na kartezjańskie oraz wizualizacji funkcji biegunowych. Jego intuicyjny design i rozwiązania krok po kroku czynią go niezbędnym narzędziem dla entuzjastów matematyki i inżynierii.