Kalkulator Divergencji

Kategoria: Rachunek różniczkowy

Kalkulator Dywergencji

Kalkulator Rozbieżności: Wyjaśnienie i Przewodnik Użytkownika

Kalkulator Rozbieżności to interaktywne narzędzie zaprojektowane do obliczania rozbieżności trójwymiarowego pola wektorowego. Oferuje intuicyjny sposób na obliczenie i wizualizację rozbieżności pola wektorowego ( \mathbf{F}(x, y, z) ), oferując zarówno symboliczną reprezentację rozbieżności, jak i jej ocenę w określonych punktach. Dodatkowo narzędzie generuje graficzną wizualizację pola wektorowego, aby pomóc użytkownikom zyskać głębszy wgląd w jego zachowanie.

Czym jest Rozbieżność?

Rozbieżność to skalarna wielkość, która mierzy szybkość, z jaką pole wektorowe rozchodzi się lub zbiega w danym punkcie. Matematycznie, rozbieżność pola wektorowego ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) jest dana przez:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

  • Jeśli rozbieżność jest dodatnia, pole wektorowe rozchodzi się w tym punkcie.
  • Jeśli rozbieżność jest ujemna, pole wektorowe zbiera się w tym punkcie.
  • Jeśli rozbieżność wynosi zero, pole mówi się, że jest solenoidalne w tym punkcie.

Ten kalkulator oferuje zarówno symboliczną rozbieżność, jak i opcję oceny jej numerycznie w określonych punktach.

Cechy Kalkulatora Rozbieżności

  • Symboliczna Rozbieżność: Automatycznie oblicza pochodne cząstkowe składników pola wektorowego i konstruuje równanie rozbieżności.
  • Ocena w Punkcie: Ocenia rozbieżność numerycznie w określonym punkcie ( (x, y, z) ).
  • Graficzna Wizualizacja: Wyświetla 3D reprezentację pola wektorowego przy użyciu interaktywnych możliwości rysowania 3D Plotly.
  • Przykłady z Menu Rozwijanego: Szybko ładowanie zdefiniowanych przykładów pól wektorowych do eksploracji.
  • Obsługa Błędów: Zapewnia, że nieprawidłowe lub niekompletne dane wejściowe są obsługiwane w sposób elegancki.

Jak Używać Kalkulatora Rozbieżności

Postępuj zgodnie z tymi prostymi krokami, aby skutecznie korzystać z kalkulatora:

  1. Wprowadź Pole Wektorowe:
  2. Wprowadź składniki ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) i ( R(x, y, z) ) pola wektorowego do odpowiednich pól wejściowych.
  3. Na przykład:

    • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
    • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
    • ( R(x, y, z) = e^z )
  4. Wybierz Przykład:

  5. Użyj menu rozwijanego, aby załadować zdefiniowane przykłady pól wektorowych.

  6. Określ Punkt Oceny (Opcjonalnie):

  7. Jeśli chcesz ocenić rozbieżność w określonym punkcie, wprowadź wartości ( x ), ( y ) i ( z ) w odpowiednich polach.

  8. Kliknij "Oblicz":

  9. Kalkulator:

    • Obliczy symboliczną rozbieżność.
    • Ocenia rozbieżność w określonym punkcie (jeśli podano).
    • Wyświetli krok po kroku rozbicie obliczeń.
    • Wygeneruje wizualizację 3D pola wektorowego.
  10. Wyczyść Dane Wejściowe:

  11. Użyj przycisku "Wyczyść", aby zresetować kalkulator.

Przykład Krok po Kroku

Przykładowe Pole Wektorowe:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

  1. Wprowadź składniki:
  2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
  3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
  4. ( R(x, y, z) = e^z )

  5. Kliknij "Oblicz." Kalkulator:

  6. Obliczy pochodne cząstkowe:
    • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
    • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
    • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
  7. Połączy je, aby znaleźć: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]
  8. Jeśli podano punkty oceny ( (x=1, y=1, z=0) ), wynik zostanie oceniony jako: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

  9. Wizualizuj wygenerowane pole wektorowe 3D na wykresie.

FAQ

1. Jakie formaty wejściowe są obsługiwane dla składników pola wektorowego?

Kalkulator obsługuje funkcje w zależności od ( x ), ( y ) i ( z ). Przykłady obejmują: - Funkcje wielomianowe: ( x^2, y^2 + z ) - Funkcje trygonometryczne: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Funkcje wykładnicze: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Co się stanie, jeśli nie podam punktu oceny?

Jeśli nie zostanie określony punkt oceny, kalkulator wyświetli tylko symboliczną równanie rozbieżności.

3. Czy mogę używać tego kalkulatora dla 2D pól wektorowych?

Tak, wystarczy pozostawić składnik ( R(x, y, z) ) pusty lub ustawić go na zero.

4. Jak generowana jest wizualizacja 3D pola wektorowego?

Kalkulator używa Plotly do stworzenia interaktywnego wykresu pola wektorowego 3D. Każda strzałka reprezentuje kierunek i wielkość pola w danym punkcie.

5. Co jeśli moje dane wejściowe zawierają błąd?

Kalkulator sprawdza błędy, takie jak brakujące składniki lub nieprawidłowe wyrażenia. Opisowa wiadomość o błędzie pomoże Ci naprawić problem.

Podsumowanie

Kalkulator Rozbieżności upraszcza proces analizy pól wektorowych, automatyzując obliczanie rozbieżności i zapewniając wyraźną wizualizację. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem, nauczycielem, czy profesjonalistą, to narzędzie jest idealne do zyskania wglądu w zachowanie pól wektorowych w przestrzeni 3D. Zacznij eksplorować już teraz, aby odkryć pełny potencjał tego potężnego kalkulatora!