Kalkulator Transformacji Laplace'a
Kategoria: Rachunek różniczkowyObsługiwane funkcje i przykłady:
1. Funkcje potęgowe
Format: t^n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą
Przykłady: t^2, t^3, t^4
2. Funkcje wykładnicze
Format: e^(nt), gdzie n jest dowolną liczbą
Przykłady: e^(2t), e^(-3t), e^(0.5t)
3. Funkcje trygonometryczne
Format: sin(nt) lub cos(nt), gdzie n jest dowolną liczbą
Poprawne: sin(2t), cos(3t), sin(0.5t)
Niepoprawne: sin(at), cos(at) (nie używaj liter)
4. Funkcje iloczynowe z t
Format: t*funkcja, gdzie funkcja jest wykładnicza lub trygonometryczna
Poprawne: t*e^(2t), t*sin(3t), t*cos(4t)
Niepoprawne: t*e^(at), t*sin(at) (nie używaj liter)
5. Połączone wykładniczo-trygonometryczne
Format: e^(nt)*trig(mt), gdzie n,m są liczbami, a trig to sin lub cos
Poprawne: e^(2t)*sin(5t), e^(-3t)*cos(2t)
Niepoprawne: e^(at)*sin(bt) (nie używaj liter)
Kalkulator Transformacji Laplace'a: Uprość złożone transformacje
Kalkulator Transformacji Laplace'a to przyjazne dla użytkownika narzędzie zaprojektowane, aby pomóc w obliczaniu transformacji Laplace'a różnych funkcji matematycznych. Artykuł ten wyjaśnia cel transformacji Laplace'a, jak skutecznie korzystać z kalkulatora oraz odpowiada na często zadawane pytania.
Czym jest transformacja Laplace'a?
Transformacja Laplace'a to potężna technika matematyczna używana do przekształcania funkcji czasu ( f(t) ) w funkcję zmiennej zespolonej ( s ), oznaczaną jako ( F(s) ). Transformacja Laplace'a jest szeroko stosowana w inżynierii, fizyce i matematyce w celu uproszczenia analizy systemów, szczególnie w równaniach różniczkowych i teorii sterowania.
Transformacja Laplace'a funkcji ( f(t) ) jest dana przez:
[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]
Przekształcając funkcję w dziedzinie czasu na dziedzinę częstotliwości, transformacja Laplace'a ułatwia rozwiązywanie złożonych problemów.
Cechy kalkulatora
Kalkulator obsługuje szeroki zakres funkcji, w tym:
- Funkcje potęgowe: ( t^n ), gdzie ( n ) jest liczbą całkowitą dodatnią.
- Funkcje wykładnicze: ( e^{at} ), gdzie ( a ) jest dowolną liczbą rzeczywistą.
- Funkcje trygonometryczne: ( \sin(at) ), ( \cos(at) ) oraz ich kombinacje z funkcjami wykładniczymi.
- Funkcje iloczynowe: ( t \cdot f(t) ), takie jak ( t \cdot e^{at} ) lub ( t \cdot \sin(at) ).
- Funkcje złożone: Funkcje takie jak ( e^{at} \sin(bt) ) i ( e^{at} \cos(bt) ).
Jak korzystać z kalkulatora
Instrukcje krok po kroku
- Wprowadź funkcję:
- W polu tekstowym oznaczonym Wprowadź funkcję ( f(t) ):, wpisz funkcję, którą chcesz przekształcić.
-
Przykłady:
- ( t^2 )
- ( e^{2t} )
- ( \sin(3t) )
- ( t \cdot e^{2t} )
- ( e^{2t} \sin(5t) )
-
Kliknij Oblicz:
- Naciśnij przycisk Oblicz, aby obliczyć transformację Laplace'a.
-
Kalkulator:
- Zidentyfikuje typ funkcji.
- Zastosuje odpowiednią formułę transformacji Laplace'a.
- Wyświetli wynik oraz krótkie wyjaśnienie.
-
Zobacz rozwiązanie:
-
Wynik zawiera:
- Oryginalną funkcję ( f(t) ).
- Zastosowaną formułę transformacji Laplace'a.
- Uproszczoną transformację ( F(s) ).
-
Wyczyść pola:
- Kliknij przycisk Wyczyść, aby zresetować dane wejściowe i rozpocząć nowe obliczenia.
Przykłady obsługiwanych funkcji
Kalkulator obsługuje różnorodne funkcje. Oto kilka przykładów:
1. Funkcje potęgowe
- Wejście: ( t^2 )
- Wyjście: ( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )
2. Funkcje wykładnicze
- Wejście: ( e^{2t} )
- Wyjście: ( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )
3. Funkcje trygonometryczne
- Wejście: ( \sin(3t) )
- Wyjście: ( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )
4. Funkcje iloczynowe
- Wejście: ( t \cdot e^{2t} )
- Wyjście: ( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )
5. Funkcje złożone
- Wejście: ( e^{2t} \sin(5t) )
- Wyjście: ( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jaki jest cel transformacji Laplace'a?
Transformacja Laplace'a upraszcza analizę systemów dynamicznych, przekształcając równania różniczkowe w równania algebraiczne, które są łatwiejsze do rozwiązania.
Jakie typy funkcji obsługuje kalkulator?
Kalkulator obsługuje funkcje potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne oraz kombinacje takie jak ( t \cdot f(t) ) lub ( e^{at} \sin(bt) ).
Czy kalkulator pokazuje kroki pośrednie?
Tak! Kalkulator dostarcza krótkie wyjaśnienie formuły użytej do obliczenia transformacji Laplace'a.
Czy mogę wprowadzać niestandardowe zmienne lub litery w funkcji?
Nie. Kalkulator akceptuje tylko funkcje z liczbami i zmienną ( t ). Użyj liczb do definiowania współczynników.
Co się stanie, jeśli wprowadzę funkcję, która nie jest obsługiwana?
Kalkulator wyświetli komunikat o błędzie z sugestiami, aby sprawdzić listę obsługiwanych funkcji.
Korzyści z korzystania z kalkulatora
- Os saves Time: Szybko obliczaj transformacje Laplace'a bez ręcznych obliczeń.
- Wspiera naukę: Dostarcza wyjaśnień, które pomagają zrozumieć proces transformacji.
- Szeroka funkcjonalność: Obejmuje większość powszechnie używanych funkcji w inżynierii i matematyce.
Ten Kalkulator Transformacji Laplace'a to doskonałe narzędzie dla studentów, inżynierów i profesjonalistów pracujących z systemami i równaniami różniczkowymi. Wypróbuj go, aby zobaczyć, jak może uprościć Twoją pracę!
Rachunek różniczkowy Kalkulatory:
- Kalkulator Całek
- Kalkulator Granic
- Kalkulator Pochodnych
- Kalkulator Linii Stycznej
- Kalkulator Krzywizny
- Kalkulator Płaszczyzny Stycznej
- Kalkulator Wronskiego
- Kalkulator Linii Normalnej
- Kalkulator Funkcji
- Kalkulator Rotacji
- Kalkulator Jacobian
- Kalkulator Linii Sekantowej
- Kalkulator Wypukłości
- Kalkulator Ekstremów
- Kalkulator Antypochoodnej
- Kalkulator Drugiej Pochodnej
- Kalkulator Pochodnych Częściowych
- Kalkulator Szeregów Taylora
- Kalkulator Asymptot
- Kalkulator Aproksymacji Kwadratowej
- Kalkulator n-tej Pochodnej
- Kalkulator Odwrotnej Pochodnej
- Kalkulator Wektora Normalnego Jednostkowego
- Kalkulator Wektora Stycznego Jednostkowego
- Kalkulator Pochodnej Kierunkowej
- Kalkulator Pochodnych Równań Jawnych
- Kalkulator Równań Różniczkowych
- Kalkulator Współrzędnych Biegunowych
- Kalkulator Współrzędnych Biegunowych na Prostokątne
- Kalkulator Aproksymacji Liniowej
- Kalkulator Punkty Przegięcia
- Kalkulator Średniej Wartości Funkcji
- Kalkulator Metody Eulera
- Kalkulator Dziedziny i Przedziału
- Kalkulator Divergencji
- Kalkulator Ilorazu Różnicowego
- Kalkulator Punktów Krytycznych
- Kalkulator Przedziału Zbieżności
- Kalkulator Twierdzenia o Wartości Średniej
- Kalkulator Różniczkowania Logarytmicznego
- Kalkulator Mnożników Lagrange'a
- Kalkulator Długości Łuku Krzywej
- Kalkulator Średniej Wskaźnika Zmian
- Kalkulator Obszaru między Krzywymi
- Kalkulator Natychmiastowej Zmiany Wskaźnika
- Kalkulator Odwrotnej Transformaty Laplace'a