Kalkulator Transformacji Laplace'a

Kategoria: Rachunek różniczkowy

Obsługiwane funkcje i przykłady:

1. Funkcje potęgowe

Format: t^n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą

Przykłady: t^2, t^3, t^4

2. Funkcje wykładnicze

Format: e^(nt), gdzie n jest dowolną liczbą

Przykłady: e^(2t), e^(-3t), e^(0.5t)

3. Funkcje trygonometryczne

Format: sin(nt) lub cos(nt), gdzie n jest dowolną liczbą

Poprawne: sin(2t), cos(3t), sin(0.5t)

Niepoprawne: sin(at), cos(at) (nie używaj liter)

4. Funkcje iloczynowe z t

Format: t*funkcja, gdzie funkcja jest wykładnicza lub trygonometryczna

Poprawne: t*e^(2t), t*sin(3t), t*cos(4t)

Niepoprawne: t*e^(at), t*sin(at) (nie używaj liter)

5. Połączone wykładniczo-trygonometryczne

Format: e^(nt)*trig(mt), gdzie n,m są liczbami, a trig to sin lub cos

Poprawne: e^(2t)*sin(5t), e^(-3t)*cos(2t)

Niepoprawne: e^(at)*sin(bt) (nie używaj liter)

Kalkulator Transformacji Laplace'a: Uprość złożone transformacje

Kalkulator Transformacji Laplace'a to przyjazne dla użytkownika narzędzie zaprojektowane, aby pomóc w obliczaniu transformacji Laplace'a różnych funkcji matematycznych. Artykuł ten wyjaśnia cel transformacji Laplace'a, jak skutecznie korzystać z kalkulatora oraz odpowiada na często zadawane pytania.

Czym jest transformacja Laplace'a?

Transformacja Laplace'a to potężna technika matematyczna używana do przekształcania funkcji czasu ( f(t) ) w funkcję zmiennej zespolonej ( s ), oznaczaną jako ( F(s) ). Transformacja Laplace'a jest szeroko stosowana w inżynierii, fizyce i matematyce w celu uproszczenia analizy systemów, szczególnie w równaniach różniczkowych i teorii sterowania.

Transformacja Laplace'a funkcji ( f(t) ) jest dana przez:

[ \mathcal{L}{f(t)} = F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt ]

Przekształcając funkcję w dziedzinie czasu na dziedzinę częstotliwości, transformacja Laplace'a ułatwia rozwiązywanie złożonych problemów.

Cechy kalkulatora

Kalkulator obsługuje szeroki zakres funkcji, w tym:

  • Funkcje potęgowe: ( t^n ), gdzie ( n ) jest liczbą całkowitą dodatnią.
  • Funkcje wykładnicze: ( e^{at} ), gdzie ( a ) jest dowolną liczbą rzeczywistą.
  • Funkcje trygonometryczne: ( \sin(at) ), ( \cos(at) ) oraz ich kombinacje z funkcjami wykładniczymi.
  • Funkcje iloczynowe: ( t \cdot f(t) ), takie jak ( t \cdot e^{at} ) lub ( t \cdot \sin(at) ).
  • Funkcje złożone: Funkcje takie jak ( e^{at} \sin(bt) ) i ( e^{at} \cos(bt) ).

Jak korzystać z kalkulatora

Instrukcje krok po kroku

  1. Wprowadź funkcję:
  2. W polu tekstowym oznaczonym Wprowadź funkcję ( f(t) ):, wpisz funkcję, którą chcesz przekształcić.
  3. Przykłady:

    • ( t^2 )
    • ( e^{2t} )
    • ( \sin(3t) )
    • ( t \cdot e^{2t} )
    • ( e^{2t} \sin(5t) )
  4. Kliknij Oblicz:

  5. Naciśnij przycisk Oblicz, aby obliczyć transformację Laplace'a.
  6. Kalkulator:

    • Zidentyfikuje typ funkcji.
    • Zastosuje odpowiednią formułę transformacji Laplace'a.
    • Wyświetli wynik oraz krótkie wyjaśnienie.
  7. Zobacz rozwiązanie:

  8. Wynik zawiera:

    • Oryginalną funkcję ( f(t) ).
    • Zastosowaną formułę transformacji Laplace'a.
    • Uproszczoną transformację ( F(s) ).
  9. Wyczyść pola:

  10. Kliknij przycisk Wyczyść, aby zresetować dane wejściowe i rozpocząć nowe obliczenia.

Przykłady obsługiwanych funkcji

Kalkulator obsługuje różnorodne funkcje. Oto kilka przykładów:

1. Funkcje potęgowe

  • Wejście: ( t^2 )
  • Wyjście: ( \mathcal{L}{t^2} = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3} )

2. Funkcje wykładnicze

  • Wejście: ( e^{2t} )
  • Wyjście: ( \mathcal{L}{e^{2t}} = \frac{1}{s - 2} )

3. Funkcje trygonometryczne

  • Wejście: ( \sin(3t) )
  • Wyjście: ( \mathcal{L}{\sin(3t)} = \frac{3}{s^2 + 9} )

4. Funkcje iloczynowe

  • Wejście: ( t \cdot e^{2t} )
  • Wyjście: ( \mathcal{L}{t \cdot e^{2t}} = \frac{1}{(s - 2)^2} )

5. Funkcje złożone

  • Wejście: ( e^{2t} \sin(5t) )
  • Wyjście: ( \mathcal{L}{e^{2t} \sin(5t)} = \frac{5}{(s - 2)^2 + 25} )

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Jaki jest cel transformacji Laplace'a?

Transformacja Laplace'a upraszcza analizę systemów dynamicznych, przekształcając równania różniczkowe w równania algebraiczne, które są łatwiejsze do rozwiązania.

Jakie typy funkcji obsługuje kalkulator?

Kalkulator obsługuje funkcje potęgowe, wykładnicze, trygonometryczne oraz kombinacje takie jak ( t \cdot f(t) ) lub ( e^{at} \sin(bt) ).

Czy kalkulator pokazuje kroki pośrednie?

Tak! Kalkulator dostarcza krótkie wyjaśnienie formuły użytej do obliczenia transformacji Laplace'a.

Czy mogę wprowadzać niestandardowe zmienne lub litery w funkcji?

Nie. Kalkulator akceptuje tylko funkcje z liczbami i zmienną ( t ). Użyj liczb do definiowania współczynników.

Co się stanie, jeśli wprowadzę funkcję, która nie jest obsługiwana?

Kalkulator wyświetli komunikat o błędzie z sugestiami, aby sprawdzić listę obsługiwanych funkcji.

Korzyści z korzystania z kalkulatora

  • Os saves Time: Szybko obliczaj transformacje Laplace'a bez ręcznych obliczeń.
  • Wspiera naukę: Dostarcza wyjaśnień, które pomagają zrozumieć proces transformacji.
  • Szeroka funkcjonalność: Obejmuje większość powszechnie używanych funkcji w inżynierii i matematyce.

Ten Kalkulator Transformacji Laplace'a to doskonałe narzędzie dla studentów, inżynierów i profesjonalistów pracujących z systemami i równaniami różniczkowymi. Wypróbuj go, aby zobaczyć, jak może uprościć Twoją pracę!