Kalkulator Pochodnej Kierunkowej
Kategoria: Rachunek różniczkowy
- January 19, 2025
|
|
Czym jest pochodna kierunkowa?
Pochodna kierunkowa mierzy, jak funkcja zmienia się, gdy poruszamy się w określonym kierunku z danego punktu. Rozszerza pojęcie pochodnych cząstkowych, biorąc pod uwagę kierunek wektora, a nie koncentrując się wyłącznie na poszczególnych zmiennych, takich jak x
czy y
.
- Mówiąc prosto, oblicza tempo zmiany funkcji
f(x, y, z)
w określonym punkcie w określonym kierunku. - Oznaczana jest matematycznie jako:
D_v f = ∇f ⋅ v̂
Gdzie:
- ∇f
to wektor gradientu funkcji, który zawiera pochodne cząstkowe względem wszystkich zmiennych.
- v̂
to znormalizowany (o jednostkowej długości) wektor kierunkowy.
- Wynik pochodnej kierunkowej to pojedyncza liczba, która informuje nas, czy funkcja rośnie, maleje, czy jest stała w danym kierunku.
Kluczowe cechy kalkulatora pochodnych kierunkowych
- Dynamiczny input: Wprowadź dowolną funkcję wielozmienną, punkt oceny i wektor kierunkowy.
- Krok po kroku: Kalkulator dostarcza szczegółowych kroków, pokazując, jak obliczane są gradient i pochodna kierunkowa.
- Wizualizacja graficzna: Wykres pokazuje zachowanie funkcji wzdłuż wektora kierunkowego.
- Wbudowane przykłady: Szybko przetestuj narzędzie za pomocą dostarczonych przykładów dla typowych funkcji.
Jak korzystać z kalkulatora pochodnych kierunkowych
Pola wejściowe:
- Wprowadź funkcję: Określ funkcję wielozmienną, taką jak
x^2 + y^2 + z^2
lubsin(x) * cos(y)
. - Punkt oceny: Podaj punkt, w którym pochodna będzie oceniana (np.
1,1,1
). - Wektor kierunkowy: Wprowadź wektor, w którym ma być obliczana pochodna (np.
1,2,3
).
Dropdown z przykładami:
- Wybierz zdefiniowany przykład, aby automatycznie wypełnić pola:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2
w punkcie(1, 1, 1)
w kierunkuv = (1, 1, 1)
.f(x, y) = sin(x) * cos(y)
w punkcie(0, 0)
w kierunkuv = (1, 1)
.f(x, y) = e^(x + y)
w punkcie(1, 2)
w kierunkuv = (0, 1)
.
Przycisk:
- Oblicz: Wykonaj obliczenia i wyświetl wyniki, kroki oraz wykres.
- Wyczyść: Zresetuj wszystkie pola wejściowe i wyniki.
Przykład krok po kroku: f(x, y) = sin(x) * cos(y)
Wejście:
- Funkcja:
sin(x) * cos(y)
- Punkt:
(0, 0)
- Wektor kierunkowy:
(1, 1)
Obliczenia:
- Oblicz wektor gradientu:
∂f/∂x = cos(x) * cos(y)
-
∂f/∂y = -sin(x) * sin(y)
-
Oceń w punkcie
(0, 0)
: ∂f/∂x(0, 0) = 1
-
∂f/∂y(0, 0) = 0
-
Znormalizuj wektor kierunkowy
(1, 1)
: -
Wektor jednostkowy:
v̂ = (1/√2, 1/√2)
-
Oblicz pochodną kierunkową:
D_v f = (1, 0) ⋅ (1/√2, 1/√2) = 1/√2
Wynik:
- Pochodna kierunkowa:
1/√2
Wizualizacja:
- Wykres pokazuje zachowanie funkcji wzdłuż wektora kierunkowego z danego punktu.
Korzyści z korzystania z kalkulatora
- Wydajność: Automatyzuje żmudne ręczne różniczkowanie i oceny.
- Przejrzystość: Wyjaśnia proces krok po kroku, idealne do nauki lub weryfikacji.
- Wszechstronność: Obsługuje funkcje z dwiema lub trzema zmiennymi i oblicza pochodne w dowolnym kierunku.
Kiedy używać kalkulatora pochodnych kierunkowych
- Matematyka i fizyka: Analizuj gradienty i tempo zmian w funkcjach wielozmiennych.
- Uczenie maszynowe i AI: Oceń zachowanie funkcji kosztu wzdłuż kierunków gradientu.
- Inżynieria i optymalizacja: Oceń zmiany w funkcjach podlegających określonym ograniczeniom lub kierunkom.
Wyjście graficzne
- Generowany jest wykres, aby pokazać zachowanie funkcji wzdłuż wektora kierunkowego.
- Oś x reprezentuje
t
, odległość wzdłuż wektora kierunkowego. - Oś y reprezentuje
f(t)
, wartość funkcji wzdłuż tej odległości.
Rachunek różniczkowy Kalkulatory:
- Kalkulator Całek
- Kalkulator Granic
- Kalkulator Pochodnych
- Kalkulator Linii Stycznej
- Kalkulator Krzywizny
- Kalkulator Płaszczyzny Stycznej
- Kalkulator Wronskiego
- Kalkulator Linii Normalnej
- Kalkulator Funkcji
- Kalkulator Rotacji
- Kalkulator Jacobian
- Kalkulator Linii Sekantowej
- Kalkulator Wypukłości
- Kalkulator Ekstremów
- Kalkulator Antypochoodnej
- Kalkulator Drugiej Pochodnej
- Kalkulator Pochodnych Częściowych
- Kalkulator Szeregów Taylora
- Kalkulator Asymptot
- Kalkulator Aproksymacji Kwadratowej
- Kalkulator n-tej Pochodnej
- Kalkulator Odwrotnej Pochodnej
- Kalkulator Wektora Normalnego Jednostkowego
- Kalkulator Wektora Stycznego Jednostkowego
- Kalkulator Pochodnych Równań Jawnych
- Kalkulator Równań Różniczkowych
- Kalkulator Współrzędnych Biegunowych
- Kalkulator Współrzędnych Biegunowych na Prostokątne
- Kalkulator Transformacji Laplace'a
- Kalkulator Aproksymacji Liniowej
- Kalkulator Punkty Przegięcia
- Kalkulator Średniej Wartości Funkcji
- Kalkulator Metody Eulera
- Kalkulator Dziedziny i Przedziału
- Kalkulator Divergencji
- Kalkulator Ilorazu Różnicowego
- Kalkulator Punktów Krytycznych
- Kalkulator Przedziału Zbieżności
- Kalkulator Twierdzenia o Wartości Średniej
- Kalkulator Różniczkowania Logarytmicznego
- Kalkulator Mnożników Lagrange'a
- Kalkulator Długości Łuku Krzywej
- Kalkulator Średniej Wskaźnika Zmian
- Kalkulator Obszaru między Krzywymi
- Kalkulator Natychmiastowej Zmiany Wskaźnika
- Kalkulator Odwrotnej Transformaty Laplace'a