Kalkulator Reguły Simpsona

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 11 października 2025
| |

Oblicz całki oznaczone numerycznie za pomocą reguły Simpsona. Ten kalkulator aproksymuje całkę funkcji na określonym przedziale, dopasowując łuki paraboliczne przez równomiernie rozmieszczone punkty.

Parametry całkowania

Użyj x jako zmiennej. Funkcje matematyczne: sin, cos, tan, log, sqrt, itp.
Musi być liczbą parzystą dla reguły Simpsona

Opcje wizualizacji

Zrozumienie reguły Simpsona

Reguła Simpsona to metoda numerycznej aproksymacji całek oznaczonych. Aproksymuje funkcję za pomocą wielomianów kwadratowych, co zapewnia większą dokładność niż prostsze metody, takie jak reguła trapezów.

Wzór
\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Gdzie:

  • h = (b - a) / n to szerokość każdego podprzedziału
  • n to liczba podprzedziałów (musi być parzysta)
  • xi = a + i·h to równomiernie rozmieszczone punkty
Wyraz błędu

Reguła Simpsona ma wyraz błędu rzędu O(h5), co oznacza, że błąd jest proporcjonalny do h4. Dokładniej:

\text{Błąd} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Gdzie f(4)(ξ) to czwarta pochodna f w pewnym punkcie ξ pomiędzy a i b.

Porównanie z innymi metodami
  • Reguła punktu środkowego: Błąd rzędu O(h3), mniej dokładna niż reguła Simpsona
  • Reguła trapezów: Błąd rzędu O(h3), mniej dokładna niż reguła Simpsona
  • Reguła Simpsona 3/8: Podobna dokładność do reguły Simpsona
  • Kwadratura Gaussa: Bardziej dokładna dla pewnych klas funkcji

Uwaga: Ten kalkulator dostarcza numerycznych aproksymacji, które mogą zawierać błędy, szczególnie dla funkcji z osobliwościami lub szybkimi oscylacjami. Zawsze weryfikuj ważne wyniki za pomocą alternatywnych metod lub rozwiązań analitycznych, jeśli to możliwe.

Czym jest Kalkulator Reguły Simpsona?

Kalkulator Reguły Simpsona to interaktywne narzędzie, które szacuje wartość całki oznaczonej. Zamiast ręcznie rozwiązywać skomplikowane całki, ten kalkulator stosuje niezawodną metodę numeryczną, aby przybliżyć pole pod krzywą, znaną jako Reguła Simpsona. Jest szczególnie przydatny dla funkcji, które są trudne lub niemożliwe do zintegrowania analitycznie.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Ta metoda dzieli przedział na parzystą liczbę części i dopasowuje parabole przez punkty na wykresie funkcji. Zapewnia lepszą dokładność niż reguła trapezów lub metoda punktu środkowego.

Dlaczego warto z niego korzystać?

Niezależnie od tego, czy jesteś studentem, nauczycielem, inżynierem, czy ciekawym uczniem, Kalkulator Reguły Simpsona pomaga:

  • Szybko oszacować całki oznaczone
  • Zobrazować, jak przybliżane jest pole pod krzywą
  • Zrozumieć wpływ zmiany liczby przedziałów
  • Przeprowadzić analizę błędów i zobaczyć zachowanie zbieżności

Stanowi również uzupełnienie innych narzędzi, takich jak Kalkulator Całek do rozwiązywania całek oznaczonych lub nieoznaczonych oraz Kalkulator Pochodnych Nieoznaczonych do znajdowania pochodnych nieoznaczonych. Jeśli pracujesz z funkcjami wielowymiarowymi, sprawdź Kalkulator Pochodnych Cząstkowych, aby obliczać pochodne cząstkowe lub analizować różniczkowanie wielowymiarowe.

Jak korzystać z kalkulatora

Wykonaj te proste kroki, aby uzyskać dokładne przybliżenie swojej całki oznaczonej:

  1. Wprowadź funkcję, którą chcesz zintegrować, w polu wejściowym (użyj x jako zmiennej).
  2. Ustaw dolną i górną granicę przedziału całkowania.
  3. Wybierz liczbę przedziałów (musi być liczbą parzystą).
  4. Opcjonalnie włącz wykres funkcji i wizualizację przybliżenia.
  5. Kliknij "Oblicz całkę", aby zobaczyć wynik, wykres i szczegóły obliczeń.

W każdej chwili możesz zresetować kalkulator, używając przycisku "Resetuj".

Typowe zastosowania

Użyj Kalkulatora Reguły Simpsona, aby:

  • Przybliżyć pole pod krzywymi, gdy dokładna całka jest trudna do obliczenia
  • Porównać wyniki numeryczne z dokładnymi rozwiązaniami z rozwiązania całek
  • Analizować zbieżność poprzez zwiększanie liczby przedziałów
  • Uzyskać wgląd w zachowanie błędów przy różnych liczbach przedziałów

Jest szczególnie przydatny do sprawdzania wyników lub uzupełniania rezultatów z narzędzi takich jak Kalkulator Drugiej Pochodnej lub Kalkulator Pochodnej Kierunkowej w analizie wielowymiarowej.

Najczęściej zadawane pytania

P: Jakie funkcje mogę wprowadzić?
Dowolną funkcję z użyciem x jako zmiennej. Typowe wyrażenia to wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmy. Na przykład: x^2 + sin(x).

P: Dlaczego liczba przedziałów musi być parzysta?
Reguła Simpsona opiera się na dopasowywaniu parabol w parach przedziałów. Nieparzysta liczba przedziałów uniemożliwiłaby to dopasowanie.

P: Jak dokładna jest ta metoda?
Reguła Simpsona jest bardzo dokładna dla gładkich funkcji i poprawia się wraz ze wzrostem liczby przedziałów. Kalkulator pokazuje również informacje o błędach i zbieżności.

P: Co jeśli moja funkcja jest nieokreślona w pewnym punkcie?
Unikaj funkcji z osobliwościami lub nieciągłościami w przedziale. Mogą one powodować niedokładne wyniki lub błędy obliczeń.

Ostateczne przemyślenia

Ten kalkulator to pomocne narzędzie do nauki rachunku całkowego i rozwiązywania rzeczywistych problemów związanych z całkowaniem. Jest częścią szerszego zestawu narzędzi matematycznych, takich jak Kalkulator Pochodnych, Kalkulator Pochodnych Odwrotnych i Kalkulator Granic, które upraszczają naukę i stosowanie zaawansowanych pojęć matematycznych.