Kalkulator Rotacji

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 18 maja 2025
| |

Oblicz rotację pola wektorowego w określonym punkcie. Rotacja jest miarą obrotu lub cyrkulacji pola wektorowego i jest powszechnie stosowana w fizyce i inżynierii.

Wprowadzenie pola wektorowego

Składowe wektora F(x,y,z) = F₁i + F₂j + F₃k

Punkt oceny

Opcje wyświetlania

O rotacji w rachunku wektorowym

Rotacja pola wektorowego jest operatorem wektorowym, który opisuje nieskończony obrót pola wektorowego. Jest miarą gęstości cyrkulacji w każdym punkcie pola.

W terminach fizycznych, rotacja pola wektorowego jest cyrkulacją na jednostkę powierzchni w kierunku normalnym do powierzchni. Na przykład, w dynamice płynów, rotacja pola prędkości (∇ × v) jest wirującą, która mierzy lokalny obrót płynu.

Zastosowania rotacji
  • Dynamika płynów: Rotacja pola prędkości daje wirującą płynu.
  • Elektromagnetyzm: Równania Maxwella łączą rotację pól elektrycznych i magnetycznych z ich źródłami.
  • Twierdzenie Stokesa: Łączy całkę powierzchniową rotacji z całką liniową wokół granicy.
  • Rozkład Helmholtza: Każde pole wektorowe można rozłożyć na część bezrotacyjną i część bezdywergencyjną.
Właściwości rotacji
  • Rotacja gradientu jest zawsze zerowa: ∇ × (∇f) = 0
  • Rotacja rotacji może być wyrażona jako: ∇ × (∇ × F) = ∇(∇·F) - ∇²F
  • Dla zachowawczego pola wektorowego rotacja jest zerowa wszędzie
  • Rotacja jest operatorem liniowym: ∇ × (αF + βG) = α(∇ × F) + β(∇ × G)

Kalkulator Curl: Kompleksowy Przewodnik

Kalkulator Curl to potężne narzędzie zaprojektowane do obliczania curl wektora w trójwymiarowej przestrzeni. Operacja ta jest fundamentalnym pojęciem w rachunku wektorowym, szeroko stosowanym w fizyce i inżynierii do opisu właściwości rotacyjnych pól, takich jak rotacja cieczy czy zachowanie pól magnetycznych i elektrycznych.

Czym jest Curl?

Curl wektora mierzy tendencję rotacyjną pola w danym punkcie. Matematycznie, dla pola wektorowego ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ), curl definiuje się jako:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \ P & Q & R \end{bmatrix} ]

Ten wyznacznik rozwija się w komponenty:

[ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \end{bmatrix} ]

Cechy Kalkulatora Curl

  • Składniki Wektora Pola: Wprowadź składniki ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) i ( R(x, y, z) ) pola wektorowego.
  • Ocena w Konkretne Punkty: Opcjonalnie, podaj wartości dla ( x ), ( y ) i ( z ), aby obliczyć curl w konkretnym punkcie.
  • Wizualizacja: Wizualizacja pola wektorowego w 3D pozwala na eksplorację właściwości rotacyjnych wizualnie.
  • Przykłady: Wstępnie zdefiniowane przykłady ułatwiają zrozumienie i testowanie narzędzia.

Jak korzystać z Kalkulatora Curl

  1. Wprowadź Składniki Pola Wektora:
  2. Wprowadź wyrażenia dla ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) i ( R(x, y, z) ).
  3. Wybierz Przykład (Opcjonalnie):
  4. Wybierz wstępnie zdefiniowany przykład z rozwijanego menu, aby automatycznie wypełnić dane wejściowe.
  5. Określ Punkty Oceny (Opcjonalnie):
  6. Jeśli chcesz, podaj wartości liczbowe dla ( x ), ( y ) i ( z ), aby obliczyć curl w konkretnym punkcie.
  7. Oblicz:
  8. Kliknij przycisk "Oblicz", aby obliczyć curl i zobaczyć wyniki, w tym krok po kroku rozbicie obliczeń.
  9. Wyczyść:
  10. Użyj przycisku "Wyczyść", aby zresetować dane wejściowe i wyniki.

Przykład Obliczenia

Dla ( P = yz ), ( Q = xz ) i ( R = xy ):

  1. Oblicz pochodne cząstkowe: [ \frac{\partial Q}{\partial z} = x, \quad \frac{\partial R}{\partial y} = x ] [ \frac{\partial R}{\partial x} = y, \quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0 ] [ \frac{\partial P}{\partial y} = z, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = z ]

  2. Oblicz komponenty curl: [ \text{Curl X} = \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} = x - x = 0 ] [ \text{Curl Y} = \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial x} = y - 0 = y ] [ \text{Curl Z} = \frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x} = z - z = 0 ]

  3. Wynik: [ \nabla \times \mathbf{F} = \begin{bmatrix} 0 \ y \ 0 \end{bmatrix} ]

Najczęściej Zadawane Pytania (FAQ)

Czym jest pole wektorowe?

Pole wektorowe przypisuje wektor do każdego punktu w przestrzeni, często używane do reprezentowania zjawisk fizycznych, takich jak przepływ cieczy czy pola elektromagnetyczne.

Co reprezentuje curl fizycznie?

Curl wskazuje na rotację lub "skręcenie" pola wektorowego w danym punkcie.

Czy mogę obliczyć curl dla pól 2D?

Chociaż curl jest głównie operacją 3D, w polach wektorowych 2D redukuje się do wartości skalarnej.

Jakie funkcje są obsługiwane?

Kalkulator obsługuje powszechne funkcje matematyczne, takie jak trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne i wyrażenia wielomianowe.

Podsumowanie

Kalkulator Curl upraszcza proces określania curl pola wektorowego, czyniąc go dostępnym dla studentów, inżynierów i fizyków. Użyj go, aby zrozumieć rotacje pól wektorowych i poprawić swoje doświadczenia w rozwiązywaniu problemów!