Kalkulator Odwrotnej Pochodnej

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 18 maja 2025
| |

Znajdź antyderywatywę (nieskończony całkę) funkcji. Ten kalkulator pomoże Ci określić oryginalną funkcję na podstawie jej pochodnej.

Funkcja wejściowa

Opcje wyświetlania

O antyderywatywach i całkowaniu

Antyderywata (lub nieskończony całek) funkcji f(x) to funkcja F(x), której pochodna to f(x). Innymi słowy, jeśli F'(x) = f(x), to F(x) jest antyderywatywą f(x).

Kluczowe właściwości antyderywatyw
  • Jeśli F(x) jest antyderywatywą f(x), to F(x) + C jest również antyderywatywą, gdzie C jest dowolną stałą
  • Antyderywata sumy to suma antyderywatyw: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Reguła mnożnika stałego: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, gdzie k jest stałą
  • Reguła potęgowa: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, gdzie n ≠ -1
  • Całkowanie e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Całkowanie 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Zastosowania całkowania

Antyderywaty i całkowanie mają liczne zastosowania w:

  • Znajdowaniu pola pod krzywymi i między krzywymi
  • Obliczaniu objętości obiektów trójwymiarowych
  • Rozwiązywaniu równań różniczkowych
  • Zastosowaniach fizycznych: praca, energia i ruch
  • Prawdopodobieństwo i statystyka
  • Inżynieria: analiza naprężeń, dynamika płynów, itd.

Czym jest pochodna odwrotna?

Pochodna odwrotna pomaga obliczyć pochodną odwrotności danej funkcji. Dla funkcji ( f(x) ), pochodna jej odwrotności, ( f^{-1}(x) ), jest określona za pomocą wzoru:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Ten wzór wynika z relacji ( f(f^(-1)(x)) = x ). Różniczkując obie strony względem ( x ), otrzymujemy:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Rozwiązując dla ( (f^(-1)(x))' ), uzyskujemy:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Koncepcja ta jest szczególnie przydatna w analizie matematycznej do badania, jak szybko zmienia się funkcja odwrotna w danym punkcie.

Cechy kalkulatora pochodnej odwrotnej

  • Szczegółowe kroki: Wprowadź funkcję i wartość ( x ), aby zobaczyć szczegółowe rozwiązanie krok po kroku.
  • Funkcje przykładowe: Przetestuj kalkulator z wstępnie załadowanymi funkcjami, takimi jak ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) lub ( f(x) = ln(x) ).
  • Wizualizacja graficzna: Kalkulator rysuje zarówno funkcję, jak i jej pochodną odwrotną.

Jak korzystać z kalkulatora pochodnej odwrotnej

  1. Wprowadź funkcję: Wprowadź funkcję ( f(x) ), której pochodną odwrotną chcesz obliczyć. Na przykład: x^2 + 1 lub e^x.
  2. Określ wartość ( x ): Wprowadź punkt, w którym chcesz obliczyć pochodną funkcji odwrotnej.
  3. Kliknij Oblicz: Zobacz wynik wraz ze szczegółowym wyjaśnieniem obliczeń.
  4. Zbadaj wstępnie załadowane przykłady: Użyj menu rozwijanego, aby wypróbować przykładowe funkcje i zobaczyć, jak działa kalkulator.

Przykład krok po kroku

Załóżmy, że chcesz obliczyć pochodną odwrotną dla ( f(x) = x^2 + 1 ) w punkcie ( x = 2 ):

  1. Pochodna ( f(x) ) to:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Oblicz ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Używając wzoru na pochodną odwrotną:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

W punkcie ( x = 2 ), pochodna odwrotna to:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Kluczowe korzyści z korzystania z tego kalkulatora

  • Szybko obliczaj pochodne odwrotne złożonych funkcji.
  • Wizualizuj funkcję i jej pochodną odwrotną na interaktywnej grafice.
  • Zrozum proces dzięki rozwiązaniom krok po kroku.