Kalkulator Całek Potrójnych

Kategoria: Rachunek różniczkowy

- 28 sierpnia 2025

| |

Obliczaj i wizualizuj całki potrójne w różnych obszarach przestrzeni 3D. Ten kalkulator pomaga w ustalaniu granic całkowania, wizualizacji obszaru i obliczaniu wyniku.

Ustawienia całki

Układ współrzędnych:

Kartezjański (x,y,z)

Walec (r,θ,z)

Sferyczny (ρ,θ,φ)

Funkcja podcałkowa:

Użyj x, y, z dla kartezjańskiego; r, theta, z dla walcowego; rho, theta, phi dla sferycznego

Granice całkowania (Kartezjański)

Aktualny obszar:

Górna półkula o promieniu 1, z centrum w początku układu

Opcje

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Pokaż wizualizację 3D

Oblicz wynik numeryczny

Podstaw wartości w krokach

Wstępnie zdefiniowane obszary

Wynik całki

∭(x² + y² + z²) dxdydz

Obliczona całka potrójna

2π/5

Około 1.2566

Rozwiązanie krok po kroku

Wizualizacja obszaru 3D

Transformacja układu współrzędnych

Współrzędne kartezjańskie (x, y, z)

x = x

y = y

z = z

Element objętości: dx dy dz

Współrzędne walcowe (r, θ, z)

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

z = z

Element objętości: r dr dθ dz

Współrzędne sferyczne (ρ, θ, φ)

x = ρ sin(φ) cos(θ)

y = ρ sin(φ) sin(θ)

z = ρ cos(φ)

Element objętości: ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Typowe całki potrójne

Objętość kuli jednostkowej

∭ dx dy dz = 4π/3

Obszar: x² + y² + z² ≤ 1

Objętość sześcianu jednostkowego

∭ dx dy dz = 1

Obszar: 0 ≤ x,y,z ≤ 1

Objętość walca

∭ dx dy dz = πh

Obszar: x² + y² ≤ 1, 0 ≤ z ≤ h

Moment bezwładności (Kula)

∭ (x² + y² + z²) dx dy dz = 4π/5

Obszar: x² + y² + z² ≤ 1

Zrozumienie całek potrójnych

Całka potrójna reprezentuje całkę objętościową funkcji w obszarze trójwymiarowym. Rozszerza ona pojęcie całek pojedynczych i podwójnych na trzy wymiary.

Definicja

Całka potrójna funkcji f(x,y,z) w obszarze V w przestrzeni trójwymiarowej jest zdefiniowana jako:

∭_V f(x,y,z) dV

Reprezentuje to sumę wartości f w całym obszarze V, ważoną przez element objętości dV.

Różne układy współrzędnych

Całki potrójne można obliczać w różnych układach współrzędnych:

Kartezjański: ∭ f(x,y,z) dx dy dz

Walec: ∭ f(r,θ,z) r dr dθ dz

Sferyczny: ∭ f(ρ,θ,φ) ρ² sin(φ) dρ dθ dφ

Wybór układu współrzędnych powinien odpowiadać symetrii problemu, aby uprościć obliczenia.

Zastosowania

Całki potrójne mają wiele praktycznych zastosowań, w tym:

Obliczanie objętości złożonych kształtów 3D
Znajdowanie środka masy ciała stałego
Obliczanie momentów bezwładności w fizyce
Określanie całkowitego potencjału elektrycznego lub grawitacyjnego w obszarze
Rozwiązywanie problemów w dynamice płynów i elektromagnetyzmie

Uwaga: Ten kalkulator dostarcza przybliżeń do celów edukacyjnych. W przypadku zastosowań wymagających wysokiej precyzji, zweryfikuj wyniki za pomocą specjalistycznego oprogramowania matematycznego lub skonsultuj się z profesjonalnym matematykiem.

Czym jest Kalkulator Całek Potrójnych?

Kalkulator Całek Potrójnych to przyjazne dla użytkownika narzędzie online, które pomaga obliczać i rozumieć całki potrójne — metodę obliczania objętości pod powierzchnią w przestrzeni trójwymiarowej. Niezależnie od tego, czy pracujesz w układzie współrzędnych kartezjańskich, cylindrycznych czy sferycznych, ten kalkulator pozwala zdefiniować funkcję podcałkową, wprowadzić granice całkowania i uzyskać zarówno symboliczne, jak i numeryczne rozwiązania, wraz z opcjonalnym przewodnikiem krok po kroku i wizualizacjami 3D.

∭_V f(x, y, z) dV = ∫∫∫ f(x, y, z) dz dy dx

Dlaczego warto korzystać z tego narzędzia?

Ten kalkulator jest przydatny dla studentów, nauczycieli i profesjonalistów, którzy potrzebują:

Obliczyć objętość obszaru w przestrzeni 3D
Obliczać całki w różnych układach współrzędnych
Zrozumieć, jak granice całkowania odnoszą się do kształtów geometrycznych
Uzyskać szczegółowy podział procesu całkowania
Wizualizować obszary 3D, aby lepiej zrozumieć rachunek różniczkowy wielu zmiennych

Jak korzystać z kalkulatora

Wybierz układ współrzędnych: Wybierz między kartezjańskim (x, y, z), cylindrycznym (r, θ, z) lub sferycznym (ρ, θ, φ) w zależności od kształtu obszaru.
Wprowadź funkcję podcałkową: Na przykład x^2 + y^2 + z^2 w układzie kartezjańskim.
Określ granice całkowania: Wprowadź dolne i górne granice dla każdej zmiennej. Możesz także użyć predefiniowanych kształtów, takich jak kula jednostkowa lub walec.
Wybierz opcje: Włącz opcję wyświetlania rozwiązania krok po kroku, wyników numerycznych lub wizualizacji.
Kliknij „Oblicz całkę”: Zobacz wynik, przeanalizuj każdy krok całkowania i interaktywnie eksploruj wizualizację 3D, jeśli jest włączona.

Kluczowe funkcje

Obsługuje układy współrzędnych kartezjańskie, cylindryczne i sferyczne
Zapewnia wyniki symboliczne i numeryczne
Zawiera predefiniowane obszary dla typowych kształtów
Wizualizuje obszary w 3D z możliwością obracania i powiększania
Rozkłada każdy krok całkowania w celach edukacyjnych

Przydatne do nauki powiązanych tematów

Całki potrójne często pojawiają się w kontekście innych tematów rachunku różniczkowego wielu zmiennych. Ten kalkulator uzupełnia narzędzia takie jak:

Kalkulator pochodnych cząstkowych: Zbadaj, jak funkcje zmieniają się względem konkretnych zmiennych, korzystając z pochodnych cząstkowych lub rozwiązania pochodnych wielozmiennych.
Kalkulator całek nieoznaczonych: Oblicz całki nieoznaczone i rozwiązuj problemy całkowe krok po kroku.
Kalkulator całek: Rozwiązuj całki oznaczone lub nieoznaczone dla jednej zmiennej w celu podstawowej praktyki.
Kalkulator pochodnych kierunkowych: Zrozum gradienty i sposób, w jaki funkcja zmienia się w określonych kierunkach.
Kalkulator płaszczyzn stycznych: Znajdź płaszczyzny, które najlepiej przybliżają powierzchnię w danym punkcie, korzystając z analizy różniczkowej.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Do czego służy całka potrójna?

Całka potrójna jest powszechnie używana do obliczania objętości, masy i innych wielkości w obszarze trójwymiarowym. Jest to kluczowe pojęcie w fizyce, inżynierii i rachunku różniczkowym wielu zmiennych.

Jaki układ współrzędnych powinienem wybrać?

Wybierz ten, który odpowiada symetrii Twojego obszaru:

Kartezjański – dla sześcianów, prostopadłościanów i brył prostokątnych
Cylindryczny – dla walców i kształtów okrągłych
Sferyczny – dla kul, półkul i symetrii promieniowej

Czy ten kalkulator pokazuje kroki?

Tak. Możesz włączyć opcję „Pokaż rozwiązanie krok po kroku”, aby zobaczyć, jak całka jest rozwiązywana etapami, co jest idealne do nauki i sprawdzania swojej pracy.

Co jeśli chcę tylko wynik liczbowy?

Włącz opcję „Oblicz wynik liczbowy”, aby uzyskać przybliżoną wartość dziesiętną. Jest to przydatne, gdy całkowanie symboliczne jest zbyt skomplikowane.

Czy to narzędzie nadaje się do użytku w klasie?

Oczywiście. Ten kalkulator jest idealny dla studentów i nauczycieli do rozwiązywania zadań, sprawdzania pracy domowej lub korzystania podczas sesji nauki.

Jak ten kalkulator pomaga

Niezależnie od tego, czy próbujesz obliczyć objętości, analizować systemy fizyczne, czy pogłębić swoją wiedzę z rachunku różniczkowego, Kalkulator Całek Potrójnych dostarcza jasnych i praktycznych informacji. Jest to praktyczne narzędzie do rachunku różniczkowego wielu zmiennych, które działa bezproblemowo z innymi pojęciami, takimi jak pochodne cząstkowe, techniki całkowania i analiza wektorowa.