Kalkulator Metody Simpleksowej

Kategoria: Algebra i Matematyka Ogólna

Wyniki

Rozwiązanie optymalne:

Ostateczna tablica:

Kroki obliczeń:

Reprezentacja graficzna:

Czym jest metoda Simplex?

Metoda Simplex to algorytm matematyczny używany do rozwiązywania problemów programowania liniowego. Jest to potężna technika optymalizacji liniowej funkcji celu przy zachowaniu zestawu liniowych ograniczeń nierównościowych lub równościowych. Metoda znajduje optymalne rozwiązanie, iterując przez możliwe rozwiązania w wierzchołkach obszaru dopuszczalnego, aż osiągnięta zostanie najlepsza wartość funkcji celu.

Problemy programowania liniowego często pojawiają się w rzeczywistych scenariuszach, takich jak alokacja zasobów, harmonogramowanie produkcji, transport i finanse. Metoda Simplex zapewnia systematyczne podejście do efektywnego rozwiązywania tych problemów.

Funkcje kalkulatora metody Simplex

  • Umożliwia użytkownikom wprowadzenie liniowej funkcji celu (np. 3x_1 + 4x_2).
  • Obsługuje ograniczenia nierównościowe i równościowe z opcjami ≤, = i ≥.
  • Umożliwia użytkownikom wybór między celami maksymalizacji a minimalizacji.
  • Oferuje dwie metody rozwiązania: metodę Big M i metodę dwuetapową.
  • Wyświetla obliczenia krok po kroku, w tym pośrednie tabele i tabelę końcową.
  • Wizualizuje obszar dopuszczalny i optymalne rozwiązanie dla problemów 2D.

Jak korzystać z kalkulatora metody Simplex

  1. Wprowadź funkcję celu w podanym polu (np. 3x_1 + 4x_2).
  2. Określ, czy problem jest problemem maksymalizacji czy minimalizacji, zaznaczając lub odznaczając pole "Maksymalizować?".
  3. Wprowadź ograniczenia w formie liniowych nierówności lub równości. Na przykład:
    • 2x_1 + x_2 ≤ 100
    • x_1 + 2x_2 = 80
    Użyj przycisku "+ Dodaj ograniczenie", aby dodać dodatkowe ograniczenia.
  4. Wybierz metodę rozwiązania (metoda Big M lub metoda dwuetapowa) z menu rozwijanego.
  5. Kliknij "Oblicz", aby rozwiązać problem. Wyniki, w tym optymalne rozwiązanie, tabela końcowa i wizualizacja, zostaną wyświetlone.
  6. Jeśli chcesz zresetować pola i zacząć od nowa, kliknij przycisk "Wyczyść".

Przykład użycia

Cel: Maksymalizować \(3x_1 + 4x_2\)

Ograniczenia:

  • \(2x_1 + x_2 ≤ 100\)
  • \(x_1 + 2x_2 ≤ 80\)
  • \(x_1, x_2 ≥ 0\)

Kroki:

  • Przekształć nierówności w równości, dodając zmienne luzujące \(s_1\) i \(s_2\).
  • Utwórz początkową tabelę simplex z współczynnikami zmiennych i ograniczeń.
  • Iteracyjnie rozwiązuj tabelę, wykonując pivotowanie, aż osiągniesz optymalne rozwiązanie.
  • Ostateczne rozwiązanie jest wyświetlane wraz z maksymalną wartością funkcji celu.

Wynik: \(x_1 = 20\), \(x_2 = 30\), a maksymalna wartość to \(180\).

Najczęściej zadawane pytania

  • Czym jest programowanie liniowe?
    Programowanie liniowe to metoda matematyczna używana do określenia najlepszego możliwego wyniku (takiego jak maksymalny zysk lub minimalny koszt) w danym modelu matematycznym, w którym relacje są liniowe.
  • Czym są metoda Big M i metoda dwuetapowa?
    Metoda Big M dodaje sztuczne zmienne z dużymi karami (oznaczonymi jako \(M\)), aby zapewnić wykonalność, podczas gdy metoda dwuetapowa rozwiązuje problem w dwóch etapach: najpierw znajdując wykonalne rozwiązanie, a następnie optymalizując funkcję celu.
  • Co robi pole wyboru "maksymalizować"?
    Zaznaczenie tego pola rozwiązuje problem jako problem maksymalizacji. Jeśli pozostawisz je niezaznaczone, kalkulator zakłada problem minimalizacji.
  • Czy kalkulator może obsługiwać problemy nieliniowe?
    Nie, kalkulator jest zaprojektowany specjalnie do problemów programowania liniowego, w których zarówno funkcja celu, jak i ograniczenia są liniowe.
  • Co się stanie, jeśli problem jest nieograniczony?
    Jeśli rozwiązanie jest nieograniczone, kalkulator wyświetli komunikat wskazujący, że problem nie ma skończonego optymalnego rozwiązania.

Korzyści z korzystania z kalkulatora metody Simplex

  • Os saves time by automating tedious manual calculations.
  • Provides a step-by-step breakdown, making it a valuable learning tool for students.
  • Visualizes feasible regions and solutions for better understanding.
  • Handles complex problems efficiently with multiple constraints and variables.