Kalkulator Pochodnych

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 07 kwietnia 2025
| |

Oblicz pochodną funkcji matematycznych. Ten kalkulator obsługuje powszechne funkcje w tym wielomiany, trygonometryczne, logarytmiczne i wykładnicze wyrażenia.

Wprowadzenie funkcji

Ocena (Opcjonalnie)

Opcje wyświetlania

O pochodnych

W rachunku różniczkowym pochodna mierzy, jak zmienia się funkcja w miarę zmiany jej argumentu. Konkretnie, pochodna funkcji w punkcie mierzy szybkość, z jaką zmienia się wynik funkcji w jednostkowej zmianie jej argumentu.

Typowe zasady różniczkowania
  • Reguła potęgowa: Jeśli f(x) = xn, to f'(x) = n·xn-1
  • Reguła sumy: Jeśli h(x) = f(x) + g(x), to h'(x) = f'(x) + g'(x)
  • Reguła iloczynu: Jeśli h(x) = f(x)·g(x), to h'(x) = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
  • Reguła ilorazu: Jeśli h(x) = f(x)/g(x), to h'(x) = [f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)]/[g(x)]2
  • Reguła łańcuchowa: Jeśli h(x) = f(g(x)), to h'(x) = f'(g(x))·g'(x)
Funkcje trygonometryczne
  • d/dx[sin(x)] = cos(x)
  • d/dx[cos(x)] = -sin(x)
  • d/dx[tan(x)] = sec2(x)
  • d/dx[sec(x)] = sec(x)·tan(x)
  • d/dx[csc(x)] = -csc(x)·cot(x)
  • d/dx[cot(x)] = -csc2(x)
Funkcje wykładnicze i logarytmiczne
  • d/dx[ex] = ex
  • d/dx[ax] = ax·ln(a)
  • d/dx[ln(x)] = 1/x
  • d/dx[loga(x)] = 1/(x·ln(a))
Podstawowy wzór pochodnej:
\[ \frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

Czym jest kalkulator pochodnych?

Kalkulator pochodnych to łatwe w użyciu narzędzie online, które pomaga znaleźć pochodne funkcji matematycznych natychmiast. Niezależnie od tego, czy jesteś studentem uczącym się rachunku różniczkowego, czy profesjonalistą potrzebującym szybkich wyników różniczkowania, to narzędzie oszczędza czas i wysiłek, dostarczając dokładne odpowiedzi, rozwiązania krok po kroku oraz wizualne wykresy.

Obsługuje powszechne typy funkcji, takie jak wielomiany, funkcje trygonometryczne, wykładnicze i logarytmiczne. Możesz również badać pochodne wyższych rzędów, obliczać konkretne wartości w punktach oraz przełączać się między uproszczonymi, szczegółowymi lub formatami LaTeX.

Jak korzystać z kalkulatora pochodnych

Wykonaj te proste kroki, aby obliczyć pochodną:

  • Wprowadź funkcję, taką jak x^2 + sin(x), w polu wejściowym oznaczonym jako f(x).
  • Wybierz rząd pochodnej, którą chcesz obliczyć (pierwsza, druga, trzecia itd.).
  • Wybierz zmienną, względem której chcesz różniczkować (x, y, t itd.).
  • (Opcjonalnie) Zaznacz pole, aby ocenić pochodną w konkretnym punkcie i wprowadź wartość.
  • Wybierz, jak chciałbyś, aby wynik się pojawił: uproszczony, z krokami lub jako wzór LaTeX.
  • Kliknij „Oblicz pochodną”, aby zobaczyć wyniki i wykres.

Kluczowe cechy

  • Natychmiastowe wyniki pochodnych z obliczeniami w czasie rzeczywistym.
  • Rozwiązywacz drugiej pochodnej oraz obsługa pochodnych do piątego rzędu.
  • Graficzna reprezentacja zarówno oryginalnej funkcji, jak i jej pochodnej.
  • Szczegółowe kroki pokazujące, jak obliczono pochodną.
  • Zawiera wyjście LaTeX dla formatów przyjaznych matematyce.
  • Pokazuje zastosowane zasady różniczkowania, takie jak zasada łańcuchowa, zasada iloczynu i inne.

Kto może skorzystać z tego kalkulatora?

To narzędzie różniczkowania jest szczególnie przydatne dla:

  • Studentów uczących się rachunku różniczkowego lub potrzebujących pomocy w zadaniach domowych.
  • Nauczycieli i korepetytorów, którzy chcą wyjaśnić pojęcia z jasnymi krokami i wykresami.
  • Inżynierów i naukowców przeprowadzających szybkie analizy matematyczne.
  • Każdego, kto potrzebuje szybko i dokładnie rozwiązać pochodne online.

Więcej niż tylko pierwsze pochodne

Ten kalkulator to więcej niż podstawowe narzędzie—może również pomóc w bardziej zaawansowanych tematach:

Najczęściej zadawane pytania

Czy mogę ocenić pochodną w konkretnym punkcie?

Tak, wystarczy zaznaczyć opcję „Oceń pochodną w konkretnym punkcie” i wprowadzić pożądaną wartość x.

Jakie typy funkcji obsługuje?

Obsługuje wielomiany, funkcje trygonometryczne, takie jak sin(x), funkcje wykładnicze, takie jak e^x, oraz funkcje logarytmiczne, takie jak ln(x).

Czy mogę obliczyć pochodne wyższych rzędów?

Tak, możesz znaleźć pochodne do piątego rzędu, korzystając z menu rozwijanego dla rzędu pochodnej.

Czy pokazuje kroki i zasady użyte?

Tak, jeśli włączysz opcje, kalkulator pokaże kroki różniczkowania i które zasady zostały zastosowane.

Czy może narysować funkcję i jej pochodną?

Absolutnie. Oferuje interaktywny wykres pokazujący obie krzywe dla porównania i lepszego zrozumienia.

Czy działa dla funkcji wielozmiennych?

Tak, użyj go jako rozwiązywacza pochodnych cząstkowych, wybierając zmienną, względem której chcesz różniczkować.

Dlaczego warto korzystać z tego kalkulatora?

Niezależnie od tego, czy próbujesz rozwiązać pochodne online, znaleźć drugie pochodne do analizy krzywych, czy potrzebujesz szybkiego rozwiązywacza pochodnych do zajęć lub pracy, to narzędzie oferuje szybkość, dokładność i przejrzystość. Jest również świetne dla uczniów wzrokowych dzięki wbudowanej funkcji rysowania wykresów.

Szukasz więcej? Wypróbuj pokrewne narzędzia, takie jak Kalkulator całek, aby znaleźć antyderywaty, Kalkulator linii stycznej do analizy nachylenia lub Kalkulator granic, aby ocenić trudne wyrażenia graniczne.