Kalkulator Liczb Zespolonych

Kategoria: Algebra II

Wykonaj dodawanie, odejmowanie, mnożenie lub dzielenie dwóch liczb zespolonych.

i
i

Co to jest liczba zespolona?

Liczba zespolona to liczba składająca się z dwóch części:

  • Część rzeczywista: Reprezentowana jako zwykła liczba (np. 3).
  • Część urojona: Reprezentowana jako liczba pomnożona przez i, gdzie i jest pierwiastkiem kwadratowym z -1.

Liczba zespolona jest zapisywana w formie:

a + bi

Gdzie:

  • a to część rzeczywista.
  • b to współczynnik części urojonej.

Na przykład:

  • 2 + 3i to liczba zespolona.
  • 5 + 0i to liczba rzeczywista (brak części urojonej).
  • 0 + 4i to liczba czysto urojona.

Zastosowania liczb zespolonych

Liczby zespolone są używane w różnych dziedzinach:

  • Inżynieria: Analiza obwodów, przetwarzanie sygnałów.
  • Matematyka: Rozwiązywanie równań kwadratowych, fraktale.
  • Fizyka: Reprezentowanie fal i oscylacji.

Funkcje kalkulatora liczb zespolonych

  • Podstawowa arytmetyka: Wykonuj dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie dwóch liczb zespolonych.
  • Obliczanie sprzężenia: Znajdź sprzężenie liczby zespolonej.
  • Moduł: Oblicz wartość modułu liczby zespolonej.
  • Konwersja do formy biegunowej: Wyraź liczbę zespoloną w współrzędnych biegunowych.
  • Odwrócenie: Oblicz odwrotność liczby zespolonej.
  • Wyjaśnienie krok po kroku: Zobacz szczegółowe kroki dla każdego obliczenia.

Jak korzystać z kalkulatora liczb zespolonych

Krok 1: Wprowadź liczby zespolone

  • Wprowadź część rzeczywistą i urojoną pierwszej liczby zespolonej w polach oznaczonych Liczba zespolona 1.
  • Wprowadź część rzeczywistą i urojoną drugiej liczby zespolonej w polach oznaczonych Liczba zespolona 2.

Krok 2: Wybierz operację

  • Wybierz operację z rozwijanego menu:
    • Dodawanie (+): Dodaje dwie liczby zespolone.
    • Odejmowanie (-): Odejmuje drugą liczbę zespoloną od pierwszej.
    • Mnożenie (*): Mnoży dwie liczby zespolone metodą FOIL.
    • Dzielenie (/): Dzieli pierwszą liczbę zespoloną przez drugą.
    • Sprzężenie: Znajduje sprzężenie pierwszej liczby zespolonej.
    • Moduł: Oblicza wartość modułu pierwszej liczby zespolonej.
    • Forma biegunowa: Konwertuje pierwszą liczbę zespoloną na współrzędne biegunowe.
    • Odwrócenie: Oblicza odwrotność pierwszej liczby zespolonej.

Krok 3: Kliknij "Oblicz"

  • Naciśnij przycisk "Oblicz", aby wykonać obliczenie. Kalkulator:
    • Wyświetli wynik w sekcji wyników.
    • Podaje szczegółowy opis każdego kroku obliczenia.

Krok 4: Wyczyść pola

  • Naciśnij przycisk "Wyczyść", aby zresetować wszystkie pola i rozpocząć nowe obliczenie.

Przykłady obliczeń

Przykład 1: Dodawanie

Wprowadzenie:

  • Liczba zespolona 1: 2 + 3i
  • Liczba zespolona 2: 4 + 5i
  • Operacja: Dodawanie

Obliczenie:

(2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i

Wynik:

  • Rezultat: 6 + 8i

Przykład 2: Forma biegunowa

Wprowadzenie:

  • Liczba zespolona: 2 + 3i
  • Operacja: Forma biegunowa

Obliczenie:

r = sqrt(2^2 + 3^2) = sqrt(13) ≈ 3.61

θ = tan-1(3/2) ≈ 0.98 radianów

Forma biegunowa = 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Wynik:

  • Rezultat: 3.61(cos(0.98) + i sin(0.98))

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to jest metoda FOIL dla liczb zespolonych?

Metoda FOIL oznacza:

  • F: Mnożenie pierwszych wyrazów.
  • O: Mnożenie zewnętrznych wyrazów.
  • I: Mnożenie wewnętrznych wyrazów.
  • L: Mnożenie ostatnich wyrazów.

Dla dwóch liczb zespolonych (a + bi) i (c + di), FOIL upraszcza mnożenie jako:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2

Ponieważ i^2 = -1, wynik staje się:

(ac - bd) + (ad + bc)i

Jak oblicza się moduł liczby zespolonej?

Moduł (lub wartość) a + bi to:

|a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)

Reprezentuje odległość liczby zespolonej od początku w płaszczyźnie zespolonej.

Co to jest sprzężenie liczby zespolonej?

Sprzężenie a + bi to a - bi. Otrzymuje się je przez odwrócenie znaku części urojonej.

Co to jest forma biegunowa liczby zespolonej?

Forma biegunowa a + bi to:

r(cos θ + i sin θ)

Gdzie:

  • r = sqrt(a^2 + b^2) (moduł)
  • θ = tan-1(b/a) (kąt w radianach)

Czy mogę dzielić przez zero w przypadku liczb zespolonych?

Nie, dzielenie przez zero jest niezdefiniowane zarówno dla liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Jeśli druga liczba zespolona to 0 + 0i, kalkulator wyświetli błąd.

Korzyści z kalkulatora liczb zespolonych

  • Edukacyjny: Rozkłada każdą operację na łatwe do śledzenia kroki.
  • Dokładny: Obsługuje arytmetykę zespoloną z precyzją.
  • Wszechstronny: Zawiera zaawansowane operacje, takie jak forma biegunowa i obliczanie modułu.
  • Przyjazny dla użytkownika: Prosty interfejs do szybkich obliczeń.

Ten kalkulator jest idealny dla studentów, inżynierów i każdego, kto pracuje z liczbami zespolonymi!