Kalkulator Współrzędnych Biegunowych na Prostokątne

Kategoria: Rachunek różniczkowy
- 18 maja 2025
| |

Konwertuj między układami współrzędnych biegunowych a prostokątnymi (kartezjańskimi), wizualizuj punkty na płaszczyźnie zespolonej i wykonuj obliczenia z liczbami zespolonymi.

Konwersja Współrzędnych

°

Dodatkowe Operacje

Opcje Wyświetlania

O Liczbach Zespolonych i Układach Współrzędnych

Liczby zespolone mogą być reprezentowane zarówno w formie prostokątnej (a+bi), jak i biegunowej (r∠θ lub re^(iθ)), co czyni je wszechstronnymi w różnych zastosowaniach matematycznych i inżynieryjnych.

Kluczowe Pojęcia
  • Forma Prostokątna: z = a + bi, gdzie a jest częścią rzeczywistą, a b częścią urojoną.
  • Forma Biegunowa: z = r∠θ lub z = r(cos θ + i sin θ), gdzie r jest wielkością, a θ kątem.
  • Forma Eksponencjalna: z = re^(iθ), co jest równoważne formie biegunowej według wzoru Eulera.
  • Płaszczyzna Zespolona: Geometriczna reprezentacja z osią rzeczywistą (poziomą) i osią urojoną (pionową).
Zastosowania

Liczby zespolone i konwersje między formami są niezbędne w:

  • Inżynierii elektrycznej (impedancja, fazory)
  • Przetwarzaniu sygnałów i systemach sterowania
  • Mechanice kwantowej
  • Dynamice płynów
  • Grafice komputerowej i przetwarzaniu obrazów

Zrozumienie współrzędnych biegunowych i prostokątnych oraz odwrotnie

Kalkulator przekształcania współrzędnych biegunowych na prostokątne i prostokątnych na biegunowe to narzędzie zaprojektowane w celu uproszczenia konwersji między tymi dwoma systemami współrzędnych. Oferuje przyjazny interfejs oraz szczegółowe rozwiązania krok po kroku, aby te matematyczne przekształcenia były bardziej dostępne.

Czym są współrzędne biegunowe i prostokątne?

Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe reprezentują punkt w płaszczyźnie za pomocą odległości od początku (( r )) oraz kąta (( \theta )) mierzonego przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej osi ( x ). Są powszechnie stosowane w scenariuszach związanych z ruchem okrężnym lub obrotowym.

  • Przykład: ( r = 5 ), ( \theta = 45^\circ )

Współrzędne prostokątne

Współrzędne prostokątne (( x, y )) opisują punkt na siatce kartezjańskiej, reprezentując jego poziome (( x )) i pionowe (( y )) odległości od początku.

  • Przykład: ( x = 3 ), ( y = 4 )

Jak korzystać z kalkulatora

Biegunowe na prostokątne

  1. Wprowadź promień (( r )) i kąt (( \theta )) w stopniach.
  2. Kliknij Oblicz, aby zobaczyć współrzędne kartezjańskie (( x, y )).
  3. Zobacz szczegółowe kroki, w tym wzory konwersji:
  4. ( x = r \cos(\theta) )
  5. ( y = r \sin(\theta) )
  6. Odpowiedź jest wyświetlana zarówno jako dokładne ułamki, jak i przybliżenia.

Prostokątne na biegunowe

  1. Przełącz na tryb "Prostokątne na biegunowe", klikając Przełącz na prostokątne na biegunowe.
  2. Wprowadź współrzędne kartezjańskie (( x, y )).
  3. Kliknij Oblicz, aby zobaczyć współrzędne biegunowe (( r, \theta )).
  4. Zobacz obliczenia, w tym:
  5. ( r = \sqrt{x^2 + y^2} )
  6. ( \theta = \tan^{-1}(y / x) )
  7. Kąt jest wyświetlany zarówno w radianach, jak i w stopniach.

Czyszczenie pól

  • Użyj przycisku Wyczyść, aby zresetować dane wejściowe i wyniki.

Cechy kalkulatora

  • Dwa tryby: Konwertuj między współrzędnymi biegunowymi a prostokątnymi jednym kliknięciem.
  • Notacja matematyczna: Odpowiedzi są wyświetlane w przejrzystych formatach matematycznych przy użyciu LaTeX.
  • Ułamki i liczby dziesiętne: Wyniki są pokazywane zarówno jako dokładne ułamki, jak i przybliżenia.
  • Obsługa błędów: Zapewnia, że użytkownicy podają prawidłowe dane wejściowe, z pomocnymi komunikatami o błędach.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

1. Kiedy powinienem używać współrzędnych biegunowych?

Współrzędne biegunowe są idealne w przypadku problemów związanych z obrotem, spiralami lub ruchem okrężnym, gdzie ( r ) i ( \theta ) naturalnie opisują system.

2. Jak przekształcić współrzędne biegunowe na prostokątne?

Użyj wzorów: - ( x = r \cos(\theta) ) - ( y = r \sin(\theta) )

3. Jak przekształcić współrzędne prostokątne na biegunowe?

Użyj wzorów: - ( r = \sqrt{x^2 + y^2} ) - ( \theta = \tan^{-1}(y / x) )

4. Jaka jest różnica między radianami a stopniami?

Stopnie mierzą kąty jako ułamki ( 360^\circ ), podczas gdy radiany używają okręgu jednostkowego, gdzie ( 2\pi ) radianów równa się ( 360^\circ ).

5. Czy kalkulator może obsługiwać ujemne kąty?

Tak, kalkulator poprawnie oblicza wyniki dla ujemnych kątów i obsługuje kąty większe niż ( 360^\circ ).

6. Czy kalkulator może wyświetlać dokładne wyniki?

Tak, wyniki są podawane zarówno jako dokładne ułamki, jak i przybliżone liczby dziesiętne dla jasności.

Ten kalkulator jest niezbędnym narzędziem dla studentów, inżynierów i profesjonalistów zajmujących się przekształceniami współrzędnych. Ułatwia obliczenia i zwiększa zrozumienie dzięki szczegółowym rozwiązaniom i intuicyjnemu projektowi.