Kalkulator Macierzy Dopełnień Algebraicznych

Kategoria: Algebra Liniowa

- 18 maja 2025

| |

Oblicz macierz minorów dla macierzy kwadratowej. Minor elementu to wyznacznik macierzy utworzonej przez usunięcie wiersza i kolumny zawierającej ten element.

Wymiary Macierzy

Rozmiar Macierzy:

Wprowadź Macierz

Opcje Wyświetlania

Miejsca Po Przecinku:

Pokaż kroki obliczeń

O Macierzy Minorów

Macierz minorów jest ważnym pojęciem w algebrze liniowej, szczególnie przy obliczaniu odwrotności macierzy. Dla każdego elementu w oryginalnej macierzy obliczamy wyznacznik podmacierzy utworzonej przez usunięcie wiersza i kolumny tego elementu.

Jak znaleźć Macierz Minorów

Dla każdego elementu a_ij w oryginalnej macierzy, utwórz podmacierz, usuwając i-ty wiersz i j-tą kolumnę.
Oblicz wyznacznik tej podmacierzy.
Umieść tę wartość wyznacznika w pozycji (i,j) nowej macierzy.
Powtórz dla wszystkich elementów, aby utworzyć pełną macierz minorów.

Znaczenie i Zastosowania

Macierz minorów jest używana do:

Obliczania macierzy kofaktorów (poprzez zastosowanie wzoru znaków do macierzy minorów)
Znajdowania macierzy dopełnień (przez transponowanie macierzy kofaktorów)
Obliczania odwrotności macierzy (przez podzielenie dopełnienia przez wyznacznik)
Rozwiązywania układów równań liniowych
Analizowania transformacji w grafice komputerowej i fizyce

Relacja do Innych Operacji na Macierzach

Jeśli M jest macierzą minorów, C jest macierzą kofaktorów, a A jest oryginalną macierzą:

C_ij = (-1)^i+j × M_ij
adj(A) = C^T (transpozycja macierzy kofaktorów)
A^-1 = adj(A) / det(A) (jeśli det(A) ≠ 0)

Zrozumienie macierzy minorów

Macierz minorów to ważna koncepcja w algebrze liniowej. Jest konstruowana poprzez obliczenie wyznacznika mniejszych macierzy utworzonych przez usunięcie wiersza i kolumny każdego elementu w oryginalnej macierzy. Te mniejsze macierze są znane jako minory.

Dla danej macierzy $n \times n$ $A$ , minor $M [i, j]$ oblicza się poprzez:

Usunięcie $i$ -tego wiersza i $j$ -tej kolumny z $A$ .
Obliczenie wyznacznika powstałej macierzy podrzędnej.

Na przykład, rozważmy macierz $3 \times 3$ :

$A = [\begin{matrix} 2 & 4 & 3 \\ 1 & 5 & 6 \\ 0 & 7 & 8 \end{matrix}]$

Aby obliczyć minor $M [1, 1]$ (element w lewym górnym rogu macierzy minorów), usuń pierwszy wiersz i pierwszą kolumnę:

Macierz podrzędna: $[\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$

Wyznacznik: $det = (5 \cdot 8) - (6 \cdot 7) = - 2$

Tak więc, $M [1, 1] = - 2$ .

O kalkulatorze macierzy minorów

Ten kalkulator upraszcza proces generowania macierzy minorów dla dowolnej macierzy kwadratowej. Oferuje jasne, krok po kroku wyjaśnienia, co ułatwia zrozumienie i naukę tej koncepcji.

Kluczowe cechy

Elastyczne rozmiary macierzy: Obsługuje macierze $2 \times 2$ , $3 \times 3$ i $4 \times 4$ .
Interaktywne wprowadzanie: Umożliwia użytkownikom bezpośrednie wprowadzanie wartości macierzy.
Kalkulacja krok po kroku: Szczegółowo opisuje, jak obliczany jest każdy minor z macierzy podrzędnych i wyznaczników.
Integracja MathJax: Wyświetla wyniki i obliczenia w przejrzystym formacie LaTeX.

Jak korzystać z kalkulatora macierzy minorów

Wybierz rozmiar macierzy kwadratowej z menu rozwijanego.
Wprowadź wartości macierzy w pola wejściowe. Każde wejście odpowiada elementowi macierzy.
Kliknij przycisk "Oblicz minory", aby wygenerować macierz minorów.
Przejrzyj wyniki:
- Obliczona macierz minorów.
- Szczegółowe kroki pokazujące, jak obliczany jest każdy minor.
Kliknij "Wyczyść wszystko", aby zresetować kalkulator i wprowadzić nową macierz.

Zastosowania macierzy minorów

Macierz minorów jest powszechnie używana w:

Wyznacznikach macierzy: Obliczanie kofaktorów do obliczeń wyznaczników.
Macierzach odwrotnych: Konstruowanie macierzy dopełniającej jako część procesu obliczania odwrotności.
Inżynierii i fizyce: Rozwiązywanie równań liniowych i analizowanie systemów w różnych dziedzinach.

Najczęściej zadawane pytania

Co to jest macierz minorów?

Macierz minorów jest tworzona poprzez obliczenie wyznacznika macierzy podrzędnych uzyskanych przez usunięcie odpowiadającego wiersza i kolumny każdego elementu w oryginalnej macierzy.

Czy ten kalkulator obsługuje macierze niekwadratowe?

Nie. Macierz minorów jest zdefiniowana tylko dla macierzy kwadratowych. Ten kalkulator wyświetli błąd, jeśli wprowadzona zostanie macierz niekwadratowa.

Jak oblicza się wyznacznik macierzy podrzędnej?

Wyznacznik oblicza się za pomocą standardowego wzoru dla macierzy $2 \times 2$ lub większych. Dla większych macierzy podrzędnych stosuje się rekurencyjne rozwinięcie wzdłuż wierszy lub kolumn.

Co jeśli moja macierz zawiera nieprawidłowe wartości?

Kalkulator powiadomi cię, jeśli jakiekolwiek pole wejściowe zawiera nieprawidłowe lub brakujące liczby. Upewnij się, że wszystkie pola są wypełnione prawidłowymi wartościami numerycznymi przed obliczeniem.

Odkryj macierz minorów już dziś

Kalkulator macierzy minorów to cenne narzędzie zarówno dla studentów, jak i profesjonalistów. Niezależnie od tego, czy rozwiązujesz złożone problemy algebraiczne, czy po prostu uczysz się podstaw algebry liniowej, ten kalkulator zapewnia jasność i dokładność.