Kalkulator SVD

Kategoria: Algebra Liniowa
- 25 czerwca 2025
| |

Oblicz rozkład wartości osobliwych (SVD) macierzy. SVD rozkłada macierz na trzy składniki: U, Σ i V*. Ten rozkład ma liczne zastosowania w statystyce, przetwarzaniu sygnałów, kompresji obrazów i nie tylko.

Wprowadzenie macierzy

Opcje wyświetlania

O rozkładzie wartości osobliwych

Rozkład wartości osobliwych (SVD) to technika faktoryzacji, która rozkłada macierz A na trzy macierze: U, Σ i V*. Ma szerokie zastosowanie w naukach o danych, przetwarzaniu sygnałów i algebrze liniowej.

Definicja matematyczna

Dla macierzy m×n A, SVD jest:

A = UΣV*

gdzie:

  • U jest macierzą ortogonalną m×m (U*U = I)
  • Σ jest macierzą diagonalną m×n z nieujemnymi wartościami osobliwymi
  • V* jest sprzężoną transpozycją ortogonalnej macierzy n×n V (V*V = I)
Zastosowania SVD
  • Redukcja wymiarowości: Analiza głównych składowych (PCA)
  • Kompresja obrazów: Redukcja pamięci przy zachowaniu jakości obrazu
  • Analiza danych: Redukcja szumów i ekstrakcja cech
  • Systemy rekomendacyjne: Filtracja współpracy dla rekomendacji
  • Obliczanie pseudo-odwrotności: Znajdowanie rozwiązań dla systemów źle uwarunkowanych
  • Przetwarzanie sygnałów: Filtracja i usuwanie szumów
Właściwości SVD
  • Wartości osobliwe są unikalne i uporządkowane w kolejności malejącej
  • Liczba niezerowych wartości osobliwych równa się randze macierzy
  • Liczba warunkowa to stosunek największej do najmniejszej wartości osobliwej
  • SVD może być używane do obliczania pseudo-odwrotności poprzez A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD jest numerycznie stabilne w obliczeniach

Wzór na rozkład wartości osobliwych:

A = UΣV*

Gdzie:

Co to jest kalkulator SVD?

Kalkulator rozkładu wartości osobliwych (SVD) to narzędzie internetowe, które rozkłada dowolną macierz na trzy podstawowe składniki: U, Σ (Sigma) i V*. Proces ten jest szeroko stosowany w algebrze liniowej w zastosowaniach takich jak kompresja danych, filtrowanie sygnałów i rozwiązywanie układów równań.

Dzięki kalkulatorowi SVD możesz szybko analizować strukturę macierzy, zrozumieć jej właściwości wymiarowe oraz obliczyć kluczowe wartości, takie jak liczba warunkowa, ranga i pseudoinwersja.

Dlaczego warto używać tego kalkulatora?

To narzędzie pomaga Ci:

  • Rozłożyć macierz na U, Σ i V* w celu głębszej analizy
  • Zrozumieć zachowanie swojej macierzy poprzez jej wartości osobliwe
  • Eksplorować właściwości takie jak ranga macierzy, liczba warunkowa i norma Frobeniusa
  • Zweryfikować dokładność rozkładu
  • Natychmiast obliczyć pseudoinwersję Moore'a-Penrose'a

Jeśli pracujesz z danymi obrazowymi, statystyką lub rozwiązujesz układy liniowe, ten kalkulator dostarcza Ci potrzebnych informacji. Uzupełnia inne narzędzia, takie jak Kalkulator rozkładu LU, Kalkulator pseudoinwersji i Kalkulator odwrotności macierzy, koncentrując się szczególnie na analizie wartości osobliwych.

Jak korzystać z kalkulatora SVD

Wykonaj te proste kroki:

  1. Wybierz liczbę wierszy i kolumn dla swojej macierzy.
  2. Kliknij „Utwórz macierz”, aby wygenerować pola wejściowe.
  3. Wprowadź wartości swojej macierzy do pól.
  4. Wybierz opcje wyświetlania, takie jak precyzja dziesiętna i czy pokazać wyjaśnienia krok po kroku.
  5. Kliknij „Oblicz SVD”, aby przetworzyć macierz.
  6. Przejrzyj wynikowe macierze U, Σ i V*, a także wartości pochodne, takie jak pseudoinwersja i liczba warunkowa.

Możesz również załadować przykładową macierz, używając przycisku „Załaduj przykład”, aby zobaczyć, jak to działa natychmiast.

Zalety korzystania z SVD

SVD jest stosowane w wielu dziedzinach i ma praktyczne korzyści:

  • Kompresja danych: Zmniejsz rozmiar danych bez utraty istotnych cech
  • Redukcja szumów: Eliminuj drobne składniki w sygnałach lub zbiorach danych
  • Uczenie maszynowe: Popraw wydajność algorytmu poprzez redukcję wymiarowości
  • Rozwiązania macierzy: Oblicz pseudoinwersję, gdy normalna odwrotność nie istnieje
  • Przetwarzanie obrazów: Efektywnie kompresuj i rekonstruuj obrazy

To narzędzie jest szczególnie przydatne w połączeniu z narzędziami macierzowymi, takimi jak Kalkulator faktoryzacji QR, Kalkulator eliminacji Gaussa-Jordana i Kalkulator diagonalizacji macierzy.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

  • Jaką wielkość macierzy mogę wprowadzić?
    Możesz wprowadzać macierze od 1×1 do 10×10.
  • Co jeśli moja macierz ma bardzo małe wartości?
    Kalkulator podświetla wartości bliskie zeru, aby pomóc Ci skupić się na istotnych wynikach.
  • Czy mogę zobaczyć, jak obliczane jest SVD?
    Tak! Włącz opcję „Pokaż wyjaśnienie”, aby zobaczyć krok po kroku rozkład.
  • Czy to narzędzie jest przydatne do nauki?
    Zdecydowanie. Wizualny podział i kroki obliczeniowe czynią go doskonałym narzędziem edukacyjnym dla studentów i nauczycieli.
  • Jak to się różni od innych narzędzi macierzowych?
    Podczas gdy Kalkulator odwrotności macierzy i faktoryzacja macierzy LU koncentrują się na bezpośrednich rozwiązaniach układów liniowych, SVD oferuje więcej wglądu w strukturę i stabilność macierzy.

Powiązane narzędzia, które mogą być przydatne